有界函数是设f「x」是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f「x」≤M，则称f「x」是区间E上的有界函数。其中m称为f「x」在区间E上的下界，M称为f「x」在区间E上的上界。有界函数的定义设函数f「x」的定义域为D，f（x）集合D上有定义。如果存在数K1，使得 f「x」≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f「x」在D上有上界。反之，如果存在数字K2，使得 f「x」≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f「x」在D上有下界，而K2称为函数f「x」在D上的一个下界。如果存在正数M，使得 |f「x」|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f「x」在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f「x1」|>M，那么函数f「x」在X上无界。此外，函数f「x」在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。函数的性质函数的有界性与其他函数性质之间的关系函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。单调性：闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。连续性：闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。可积性：闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
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